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\chapter{Le produit XSR} % Main chapter title

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\lhead{Chapitre 2. \emph{Le produit XSR}} % Change X to a consecutive number; this is for the header on each page - perhaps a shortened title
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%	SECTION 1
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Depuis 2008, le CCRIF s’est engagé dans le développement d’un produit d’assurance pour faire face aux excès de pluie dans la région des Caraïbes. Cela a constitué une réponse directe à l’intérêt manifesté par les pays membres et les actionnaires du CCRIF. Le but d'un tel produit est de couvrir les inondations catastrophiques, c'est-à-dire les pertes relatives à des pluies extrêmes de courte durée à savoir quelques jours. Ce produit, nommé Excess of Rainfall ou XSR, a été développé à l’aide de l’expertise de Swiss Re notamment sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le produit XSR est construit à l’aide de l’estimation paramétrique de l’impact de fortes pluies en utilisant les inputs propres à un pays suivant : \\
\begin{itemize}
\item \textbf{Précipitations} mesurées par satellite. Il s'agit d'une part des données historiques pour estimer les distributions de probabilités nécessaires à la tarification du contrat, et d'autre part des données en temps réel pour calculer l’indice paramétrique servant au paiement\\
\item \textbf{Exposition} des différentes zones géographiques au risque de pluie. Les valeurs d'exposition sont calculées et fournies par le CCRIF \\
\item \textbf{Vulnérabilité} en ajustant une courbe empirique aux pertes historiques.\\
\end{itemize}
Malgré des recherches débutées en 2010, le produit XSR n'a pu être lancé qu’en 2013 à cause de la complexité de son développement. En effet, la pluie est l’un des aléas climatiques les plus difficiles à modéliser et il n’y a pas de consensus scientifique quant à la méthodologie à appliquer. Nous verrons plus en détails cette problématique dans le second chapitre du mémoire.
\section{Description du produit}
\subsection{La nécessité d'un produit XSR dans la région des Caraïbes}
Une étude sur l’adaptation des économies au changement climatique menée par le CCRIF en 2012 a révélé que les risques naturels pourraient augmenter les pertes prévues de 1 à 3\% du PIB de l’ensemble des pays des Caraïbes d’ici 2030. D'après ce rapport, le changement climatique aura un impact indéniable sur l’augmentation du niveau de la mer, de l’intensité des ouragans, des précipitations et des températures. L'étude a en outre montré que de nombreuses mesures d'adaptation comme l'atténuation et le transfert des risques sont disponibles pour répondre à la menace croissante du changement climatique. En fonction des caractéristiques de chaque pays, ces mesures permettraient d’éviter jusqu'à 90\% de la perte attendue en 2030 dans un scénario catastrophique. Les mesures de transfert de risque ou d'assurance jouent également un rôle clé dans la lutte contre les conséquences financières de ces événements météorologiques et en particulier sur les phénomènes hydrométéorologiques. Alors que la couverture d'assurance du CCRIF a été extrêmement bénéfique dans le cas des ouragans et des tremblements de terre, les gouvernements membres du CCRIF et certains pays non-membres (par exemple la Guyane) ont encore une exposition significative aux inondations. Un questionnaire des membres du CCRIF entrepris par la Banque mondiale en 2010 avait révélé que 94\% des répondants estiment que les risques de pluies torrentielles devraient être couverts. Ceci explique le lancement du produit XSR par le CCRIF. 
\subsection{Le développement du produit : une collaboration entre le CCRIF et Swiss Re}
Comme indiqué précédemment, le modèle du XSR a été développé après que les membres du CCRIF et les intervenants avaient exprimé un vif intérêt pour l'achat de couverture contre les pluies torrentielles. Entre 2009 et 2010, le CCRIF a retenu les services de l'Institut de météorologie et d'hydrologie des Caraïbes (CIMH) et de Kinetic Analysis Corporation (KAC) pour développer un modèle de simulation de précipitations. Lors d'un examen approfondi de ce modèle, le CCRIF a jugé que le modèle CIMH / KAC nécessitait d'autres tests avant de pouvoir être utilisé.\\ \\
C’est à la suite de ce développement que le CCRIF a commencé en 2011 une collaboration avec Swiss Re, réassureur mondial de premier plan, afin de développer un produit paramétrique de couverture des pluies torrentielles. Grâce à l'expertise technique combinée du CCRIF et de Swiss Re, et en s'appuyant sur des données publiques, le CCRIF est maintenant en mesure d'offrir un contrat d'assurance à ses membres.
 
\subsection{Le modèle XSR du CCRIF et de Swiss Re}

Le modèle XSR du CCRIF-Swiss Re se base sur les données de la mission de mesure des précipitations tropicales (TRMM). Le TRMM est une initiative de recherche entreprise par la NASA et par l’agence d’exploration spatiale Japonaise (JAXA). Il fournit une estimation satellitaire précise et en temps réel des pluies agrégées sur des cellules géographiques de 625 $km^2$ toutes les 3 heures.\\ \\
La carte de la Jamaïque est divisée en 28 cellules géographiques. Un taux d’exposition au risque, qui traduit la propension de la zone à être impactée économiquement lors de fortes pluies, est fourni sur chacune des 28 zones. La répartition est la suivante : \\  %\ref{fig:Repartition 28 cellules}.
\begin{figure}[htbp]
     \centering
       \includegraphics[scale=0.7,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Cellules_TRMM_Jamaica.png}
       \rule{35em}{0.5pt}
     \caption[Répartition des 28 cellules géographiques sur la Jamaïque]{Répartition des 28 cellules géographiques sur la Jamaïque}
     \label{fig:Repartition 28 cellules}
\end{figure}


\noindent Les données de précipitation journalière sont disponibles sur chacune de ces cellules \footnote{Les valeurs d'exposition sont données en annexe \ref{AppendixD}.}. Nous allons voir comment le modèle XSR utilise ces données pour calculer l’indice paramétrique en question.


\section{Méthodologie de calcul de l’indice paramétrique  relatif au produit XSR en Jamaïque}
Dans le contrat XSR proposé par le CCRIF, un évènement extrême ainsi que son indice paramétrique associé sont définis selon les 4 étapes suivantes :
\begin{enumerate}[1) ]
\item Sur chacune des 28 cellules géographiques de la Jamaïque, le cumul des 5 derniers jours de pluie est calculé jour après jour (c.f figure \ref{fig:XSR step 1})
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.7,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR_step1.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Agrégation des pluies journalières sur 5 jours]{Agrégation des pluies journalières sur 5 jours}
   \label{fig:XSR step 1}
\end{figure}
\\Un événement local est déclenché lorsque ces précipitations agrégées sur 5 jours\footnote{On définit les prépcipitations agrégées 5 jours comme la somme des précipitations journalières sur les 5 jours antérieurs.} dépassent 250 mm. L’événement se termine lorsque le cumul des pluies sur 5 jours redescend en-dessous de ce seuil (cf. figure  \ref{fig:XSR step 2})
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.7,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR_step2.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Détection des événements extrêmes locaux]{Détection des événements extrêmes locaux}
   \label{fig:XSR step 2}
\end{figure}
\item Sur chacun des événements locaux détectés, seul le pic des pluies agrégées sur 5 jours est utilisé pour calculer un indice de perte via une courbe de vulnérabilité qui relie la quantité de pluie à un taux de vulnérabilité. \footnote{L’information sur cette fonction de vulnérabilité ne nous a pas été communiquée et nous tenterons de remédier à ce problème ultérieurement.} 
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.7,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR_last.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Détection des événements extrêmes nationaux à partir des événements locaux]{Détection des événements extrêmes nationaux à partir des événements locaux}
   \label{fig:XSR last step}
\end{figure}
\item Le pourcentage d’exposition de la cellule géographique est appliqué au taux de vulnérabilité de chaque événement local afin de donner l’indice de perte de la cellule sur l’événement local. 
\item Pour calculer l’indice de perte national, les 28 indices de pertes locaux sont additionnés jour par jour. Au niveau national, un événement est défini comme une période continue où l’indice de perte local est positif dans au moins une des 28 cellules.  
\end{enumerate}
Les indices locaux sont strictement positifs uniquement les jours où le pic de pluie est atteint lors d’un événement de pluie intense. Par convention, l’indice est nul le reste du temps. Dans l’exemple de la figure \ref{fig:XSR last step}, trois événements au niveau national sont détectés. Pour le premier événement, l’indice national correspond à la somme des trois indices locaux. L’indemnité reversée au pays est calculée en fonction des indices nationaux via la fonction de paiement  \ref{fig:Fonction de paiement}.
\section{Comparaison avec le produit Ouragan}
Ce produit se distingue du produit contre les ouragans dans la mesure où les précipitations sont enregistrées en temps réel 24h/24h et pas seulement lors des épisodes d’ouragans ou de tempêtes tropicales. La problématique de tarification est donc différente. Dans le cas du produit Ouragan, la prévision du nombre moyen d’Ouragan est fondamentale car les vents n’y sont mesurés que dans ce cas. De plus, il est en théorie possible que le produit XSR déclenche plusieurs événements locaux espacés dans le temps, donc plusieurs événements nationaux lors d’une même tempête. Ce n’est donc pas forcément le nombre d’événements nationaux qui est important mais plutôt le nombre d’événements locaux. En écrivant l’indice national comme somme d’indices locaux $I=\sum_{i=1}^{28}I_{\textit{cellule i}}$  le second chapitre du mémoire consistera à modéliser la dynamique des indices locaux $I_{\textit{cellule i}}$ afin de déduire l’indice national. \\ \\
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.8,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Deux cas de configuration possibles lors d’un épisode de pluies extrêmes]{Deux cas de configuration possibles lors d’un épisode de pluies extrêmes}
   \label{fig:XSR 2 scenarios}
\end{figure}
Par ailleurs, le contrat stipule que la couverture peut être offerte sur base événementielle ou annuelle. La définition de la fonction de paiement et de son indice est importante dans la tarification du contrat. En effet, les deux cas de configuration de pluie possibles sont représentés dans la figure \ref{fig:XSR 2 scenarios}. \\ \\
Dans le cas d’une fonction de paiement à base événementielle, le CCRIF doit indemniser la Jamaïque à chaque détection d’événements nationaux : 
\begin{enumerate}
\item Dans le scénario 1, un seul indice est calculé en prenant en compte les 2 pics de pluies locaux : $ I=I_{\textit{cellule i}}+I_{\textit{cellule j}}$
\item Dans le scénario 2, deux indices sont calculés sur les deux jours $I_{\textit{cellule i}}$ et $I_{\textit{cellule j}}$. 
\end{enumerate}En accord avec la fonction de paiement de la figure \ref{fig:Fonction de paiement}, le CCRIF devrait payer un montant probable plus important dans le scénario 1 que dans le scénario 2 alors que les deux sont engendrés par le même épisode de pluie torrentielle, ce qui peut correspondre à une limite du produit XSR.
\section{Présensation des données}
\subsection{Données Pluviométrique}
Nous avons à notre disposition les données de précipitation journalière en milimètre de la Jamaïque de 1998 jusqu'en 2013. Il s'agit des données satellitaires en temps réel collectées par la \emph{Tropical Rainfall Measurement Mission} (TRMM). Les précipitations sont estimées sur 28 noeuds satellitaires équidistants d'environ 25 km. Les 28 cellules d'observation associées aux 28 points d'observation recouvrent entièrement la Jamaïque (cf. \ref{fig:Repartition 28 cellules}).\\ \\
Le choix des données satellitaires de la TRMM au détriment d'autres sources mesurées sur place, même si ces dernières sont en général plus précises, s'explique par le souci de consistence des données à travers la région des Caraïbes. De plus, la TRMM fournit un degré d'indépendance important étant donné qu'elle prend ses sources directement de la NASA.
\subsubsection{Profil pluviométrique de la Jamaïque}
La Jamaïque possède un climat tropical humide, marqué principalement par deux périodes : une période pluvieuse entre Mai et Décembre et une période plus calme et sèche de Janvier à Avril. 
Cette bi-saisonnalité est largement observée sur nos cellules d'observation (figure \ref{fig:Précipitation Mensuelles} ) :
\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=8cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/RfallJamaica.pdf}
    %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Moyenne des précipitation mensuelles depuis 15 ans]{Moyenne des précipitations mensuelles (en mm) depuis 15 ans}
  \label{fig:Précipitation Mensuelles}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item De Décembre à Avril : la précipitation mensuelle est en dessous de 100 mm.
\item De Mai à Novembre : la précipitation est au dessus de 100 mm. Il est également à noter que la saison des cyclones est en général de Juin à Novembre. \\
\end{itemize}
On observe que les précipitations sont au-dessus des 200 mm pour les mois de Mai, Septembre, Octobre, Novembre. 

\subsubsection{Profil pluviométrique d'une cellule de la TRMM} %-- figure \ref{fig:Daily Rainfall} --\\
Dans ce paragraphe, on s'intéresse à la précipitation journalière sur une cellule d'observation TRMM. Pour cela, on a décidé de regarder  arbitrairement la cellule 20 qui inclut l'agglomération de Kingston, Portmore et Spanish Town, où l'on peut trouver la plus forte concentration de population et de richesse du pays.\\
\begin{enumerate}[a.]
\item \textbf{Précipitations journalières} -- \fref{fig:Daily Rainfall}. \\
Le profil pluviométrique jounalier de cette région peut être décrit comme suivant : 
\begin{itemize}
\item La moyenne des précipitations journalières est de 11.4 mm. Cependant, 75\% des précipitations journalières sont inférieures à 21,83 mm donc il s'agit d'une distribution très concentrée sur les petites valeurs.
\item La bi-saisonnalité est bien présente dans cette région : une période pluvieuse entre Mai et Novembre et une période plus sèche de Décembre à Avril.
\item La précipitation maximale est de 303 mm, atteinte lors du passage de l'ouragan Gustave en Jamaïque le 29 Août 2008.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \subfigure[Histogramme de précipitation journalière]{
   \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/RfallHisto.pdf}}
  \subfigure[Précipitation mensuelle]{
     \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Rfall_trmm21_month.pdf}}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Précipitation journalière en Jamaique]{Précipitation d'une cellule TRMM de Jamaique}
  \label{fig:Daily Rainfall}
\end{figure}
\item \textbf{Précipitations agrégées} --  \fref{fig:Rainfall 5 day}. \\
On a vu que dans la construction de l'indice paramétrique, le CCRIF utilise les précipitations aggrégées 5 jours. Il est donc naturel de s'intéresser à cette distribution.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  %\subfigure[Histogramme]{
   \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Rfall5dayHisto.pdf}
   %}
  %\subfigure[Boxplot]{
    % \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Rfall5dayBoxplot.pdf}}
    %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Précipitation 5 jours aggrégés en Jamaique]{Précipitation 5 jours aggrégés en Jamaique}
  \label{fig:Rainfall 5 day}
\end{figure}
\\La forme de la distribution des précipitations 5 jours est similaire à celle des précipitations journalières. En agrégant les pluies, on remarque que la queue de distribution semble plus épaisse que pour les pluies journalières. Ceci peut s'expliquer par la persistance des pluies lors des pluies torrentielles. 
\end{enumerate}
\subsection{Exposition}
Le CCRIF possède une base de données d'exposition, le \emph{Multi-Risk Estimation System} (MPRES), qui permet d'estimer les expositions aux pertes sur un pays membre à une résolution de  $1km^2$.
Les exposition se basent sur des statistiques économiques, démographiques et les données de type "Remote Sensing"\footnote{système de détection spatiale à distance}. La base de données a été construite afin de pouvoir fournir une estimation convenable des pertes sur les actifs corporels dues aux castastrophes hydrométéorologiques et géophysiques. Les données d'exposition sur la Jamaïque dont nous diposons sont générées à partir de données internes datant de 2010. La Jamaïque est scindée en 12990 cellules de $1km^2$. La répartition des expositions sur ces cellules est représentée dans la figure \ref{fig:Exposition}.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  %\subfigure[1 jour]{
   \includegraphics[width=14cm,height=6cm,keepaspectratio=false]{Figures/Chapter1/jamaique-topographique.png}
  %\subfigure[5 jours]{
   %  \includegraphics[width=7cm,keepaspectratio=true]{Figures/Jamaica_relief_location_map}}
    %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Répartition des expositions]{Répartition des expositions}
  \label{fig:Exposition}
\end{figure}  
\noindent Il est faciclement observable que les zones à exposition faible correspondent soit aux zones inhabitées, soit des zones montagneuses à l'intérieur du pays. On remarque aussi que les zones à exposition importante se trouvent sur le littoral de la Jamaïque et que les zones à exposition les plus importantes correspondent à des villes ayant plus de 40.000 habitants : Kingston, Spanish Town, Portmore et Montegro Bay.\\ \\
Par souci d'homogéneïté avec les données pluviométriques, nous avons regroupé les expositions niveau cellules CCRIF (12990 cellules) en expositions niveau TRMM (28 cellules).

  
%\subsection{Corrélation}
% 
%\subsubsection*{Corrélation géographique}
%
%\begin{figure}[htbp]
%  \centering
%  \subfigure[1 jour]{
%   \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/RfallCorrelation.pdf}}
%  \subfigure[5 jours]{
%     \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Rfall5dayCorrelation.pdf}}
%    \rule{35em}{0.5pt}
%  \caption[Corrélation spatiale des précipitations en Jamaïque]{Corrélation spatiale des précipitations en Jamaïque}
%  \label{fig:Rainfall Correlation}
%\end{figure}
%
%\subsubsection*{Exposition}
%Inclure la carte Jamaique